face

Теория громадности

Первобытные люди, не умея считать дальше, чем до двух или трёх, любое большее число называли «много». Хотя современные первоклассники оперируют натуральными числами в пределах сотни, а взрослому человеку вполне понятно, что такое миллиард, способность человека к непосредственному восприятию количества не улучшилась качественно. Десять у нас пальцев на руках, пятьдесят спичек в коробке, сто сантиметров в метре (обе единицы измерения сопоставимы с размерами частей тела, то есть доступны непосредственному оцениванию). Начиная примерно с тысячи, такое сопоставление становится проблематичным. На вашем экране, вероятно, несколько миллионов пикселов, каждый из которых, обладая острым зрением, можно разглядеть по отдельности. Пожалуй, это самый большой порядок числа, которое можно непосредственно сопоставить с окружающей действительностью. Поскольку даже среднее образование позволяет оперировать числами бóльших порядков, наше чувственное восприятие количества отстаёт от возможностей абстрактного мышления. Величины, на порядки превышающие предел непосредственного восприятия, ощущаются громадными.

Хотя 1 000 000 000 < 1 000 000 001, разница в единицу «не делает погоды», и эти два числа ощущаются одинаково громадными. Тем не менее, оба они громаднее миллиона. Основываясь на этих интуитивных оценках, можно утверждать, что громадность числа — это мера психологического восприятия его величины. Подобно другим ощущениям (яркости, громкости, интенсивности вкуса или запаха), громадность измеряется нелинейной шкалой, где из одинаковых интервалов каждый следующий соответствует бóльшему приращению входных значений. Должен быть у этой шкалы и предел отсечения, после которого никакое увеличение входного значения уже не может увеличить психологическую оценку.

Наивно было бы предположить, что ощущение громадности, так же, как зрение или слух, следует логарифмическому закону Вебера — Фехнера. Однако едва ли 10103 настолько же громаднее 10100, насколько миллион громаднее тысячи. Для того, чтобы сделать примерно такой же, как между тысячей и миллионом, скачок от числа 10100, понадобится величина порядка 10200. Но и дальше потребуются всё более крутые переходы: чтобы «достойно увеличить» число 1010100, нужно что-то вроде 101010100. Похоже на то, что при равномерном приращении громадности числа растут быстрее, чем любая арифметическая функция, доступная пониманию субъекта.

Я предполагаю, что ощущение громадности числа связано с описанием способа получения этой величины из чисел, лежащих в пределах непосредственного восприятия. Например, миллиард — это тысяча тысяч тысяч, а 264 — единица, удвоенная 64 раза. Чем больше качественно различных шагов требуется для достижения цели, тем громаднее число. Так, возведение числа в квадрат — это один шаг, а возведение числа в квадрат громадное число раз — это два шага («возвести в квадрат» и «повторить предыдущий шаг много раз»). В этом отношении любопытно число Грэма, которое настолько велико, что для него нужна особая система записи. Чтобы добраться от негромадных чисел до числа Грэма g64, нужно совершить пять качественных переходов. Громадность этого числа, похоже, приближается к пределу шкалы восприятия, и, хотя можно продолжить в духе gg64, усилить ощущение громадности по сравнению с числом Грэма практически невозможно. Впрочем, диапазон воспринимаемой громадности, скорее всего, зависит от уровня математической подготовки субъекта. Так, потолок громадности у пятиклассника вряд ли лежит выше двух-трёх шагов, тогда как Рональд Грэм, вероятно, может оценить по достоинству и более громадные числа, чем g64.

Ссылки по теме:Как обычно, предлагаю тем, кто внимательно прочитал эту запись, принять участие в небольшом исследовании. Я прошу вас оценить, насколько громадны эти числа. Интересует именно ваше психологическое ощущение, а не энциклопедическое знание порядков. Левый край шкалы громадности соответствует «небольшим» числам вроде миллиона, а правый — невообразимо громадным величинам, таким огромным, что вы не можете представить чисел, ощутимо больших, чем эти.

Poll #979236 Насколько громадны эти числа?

Число атомов во Вселенной

Mean: 5.17 Median: 6 Std. Dev 1.20
1
0(0.0%)
2
5(6.2%)
3
4(5.0%)
4
10(12.5%)
5
14(17.5%)
6
47(58.8%)

Число возможных шахматных партий без повторяющихся позиций

Mean: 3.51 Median: 3 Std. Dev 1.41
1
9(11.4%)
2
7(8.9%)
3
25(31.6%)
4
19(24.1%)
5
11(13.9%)
6
8(10.1%)

Число клеток во всех живых организмах на Земле

Mean: 3.74 Median: 4 Std. Dev 1.43
1
3(3.8%)
2
15(18.8%)
3
19(23.8%)
4
19(23.8%)
5
11(13.8%)
6
13(16.2%)

Число когда-либо родившихся людей

Mean: 2.40 Median: 2 Std. Dev 1.35
1
24(30.0%)
2
25(31.2%)
3
16(20.0%)
4
9(11.2%)
5
2(2.5%)
6
4(5.0%)

Число возможных текстов длиной с «Войну и мир»

Mean: 3.24 Median: 3 Std. Dev 1.70
1
17(21.2%)
2
14(17.5%)
3
14(17.5%)
4
14(17.5%)
5
10(12.5%)
6
11(13.8%)

Число секунд, прошедших со времени Большого взрыва

Mean: 3.95 Median: 4 Std. Dev 1.39
1
2(2.5%)
2
12(15.0%)
3
17(21.2%)
4
20(25.0%)
5
15(18.8%)
6
14(17.5%)

In English: Theory of Immensity
Грэм - это по сути английская транскрипция. По-русски его фамилию пишут как Грэхем (например, в списке авторов "Конкретной математики")
Знаю. Написал так исключительно исходя из популярности варианта «число Грэма» в сети, ведь читатели могут захотеть поискать в интернете дополнительную информацию.
Практическое применение этой теории
Практическое применение этой теории восприятия чисел нашли продавцы: цены на товары всегда стоят на 10 копеек меньше, чем круглое число, читобы покупатериль округлял до меньшешго.

Каждый раз в магазине чувстую, что меня дурят. Каждый раз думаю, неужели убытки магазина составили бы так много, если бы они писали круглые числа, показывая себя тем самым честными, без трюков. Это вызывало бы уважение покупателей.
Re: Практическое применение этой теории
Но они же правда дают 10 копеек сдачи, без обмана. :-)

Тут, скорее, не теория громадности используется, а просто психологическая особенность зрительного восприятия надписей. В числе самое важное -- начало, поэтому важно, чтобы первая цифра была 4 в числе 499.90 (четыреста с чем-то), а не 5 в числе 500.00. Точно так же в слове человек обращает больше всего внимания на первую букву, и в целом узнаёт слово скорее по очертанию, чем распознавая буквы по одной.
Другая твоя мысль про ощущения числа
Другая твоя мысль про ощущения числа, но уже в отношение времени.

Когда-то я удивилась, что "время стало убыстряться для меня". Тогда ты легко объяснил это тем, что в начале жизни год сопоставим с длиной всей жизни, на втором году жизни такой же год сопоставим с половиной жизни, на десятом -- с десятой частью, на пятидесятом -- с пятидесятой. Жить стало страшнее, но понятней.

PS Хотя, конечно, восприятие времени -- совсем другая история.
Re: Другая твоя мысль про ощущения числа
Дело вовсе не в этом. Просто с годами пульс человека и прочие биоритмы замедляются и внешние процессы текут уже не так медленно в сравнении с внутренними.
Хотя должен отметить: Лешкина версия не лишена изящества.
Не голосовал, потому что не могу оценить порядки значений навскидку, а лезть в расчеты не хочется. Никаких ощущений громадности у меня нет: любое громадное число можно нормировать на единицу. А значит оценить можно лишь разницу в "громадности" между двумя значениями. Предлагаю явно указать эталон для сравнения, например, единицу.

Что касается больших чисел, а также маленьких, иррациональных и трасцендентных.
Разумность человека -- есть не что иное, как способность к абстрактному мышлению. И число как понятие -- возможно самая первая абстракция, ставшая доступной нашему сознанию. А что есть абстракция? Это уход от действительности, это модель объекта или явления у нас в голове.

Следующий шаг разумности -- абстракции несуществующих (невидимых) явлений и объектов. Здесь человеку помогают аналогии. Вы знаете как выглядит пятимерный куб? Сложно представить вот так сразу, да? Но вы можете легко представить трехмерный куб и его центральную проекцию на плоскость. Это будет квадрат в квадрате. Так же и проекция пятимерного куба в трехмерное пространство будет кубом в кубе. При желании все это легко описать строго математически. Попробуйте на досуге)

Давайте теперь представим бесконечность. Возьмем сферу и рядом вертикальную касательную прямую. Точка соприкосновения будет нулем. Отложим на нашей прямой, скажем, число 10. И соединим эту точку с центром сферы неким отрезком. Тогда точка пересечения отрезка и сферы будет проекцией числа десять на сферу. Нетрудно сообразить, что проекцией бесконечности будет вершина сферы.
Всё! )

Ну что нам эти числа Грэма... Мы способны понять бесконечность. )

Вы меня понимаете? Единица -- не меньшая абстракция, чем бесконечность)

Короче, все хуйня кроме пчел, а если приглядеться, то и пчелы тоже хуйня. )
Куб, конечно, четырехмерный, а не пяти. Меня заклинило из-за четырех координат СТО. Вроде как четырехмерность это уже что-то простое и обычное... )))

Прочел статью про первобытный счет. Кое-что добавлю к сказанному.

Чтобы понять число пять, первобытные люди ставят ему в соответствие пальцы руки. А мы, чтобы понять четырехмерный куб, ставим ему в соответствие трехмерную проекцию, и придумываем какую-то сферу, чтобы понять бесконечность.

Кажется, ты просто описал громадность, как количество информации в алгоритме построения числа из непосредственно доступных величин :)
я для себя определяю много ли, пытаясь свести к известным величинам.
5 мегабайт -- много ли? как вспомню свой Специалист (64к рам, 2к -- видеообласть, 2к -- пзу (512 байт просто монитор для 8080, 1024 байта -- стандартный загрузчик и монитор, 512 байт лежит просто так) так чувствую -- много. а если надо скачать на жопорезе -- так офигительно много!
но если просто накачалось за день -- так это же всего ничего.
вообще, всё сравнительно. чтобы _понять громадность_ нужно иметь сравнительную базу вообще, иметь оценку _обычности_ сравнительной базы, и неплохое абстрактное мышление, чтобы представить число _в принципе_.
не приводя аналогии ("число пикселей на мониторе") а представив в форме "тысяча тысяч тысячу раз" или иных _алгоритмических_.
и именно сложность алгоритма получения (которую ты представляешь) и есть оценка огромности.

извращенцы типа меня еще и несколько алгоритмов могут представить в раз, и получить одновременно от "фигня" до "огогого сколько!" :)
Слабо себе представляю что такое большой взрыв. Все оценки производились как раз исходя из ощущения числа, а не примерного знания. Хотя, такие величины как время я оценивал больше полагаясь на знания, чем на ощущения.

А для чего тебе эти опросы?
Люблю наблюдать, как ответы различных людей складываются в некую закономерность. А ещё — отслеживать, сколько людей читают, но не комментируют. :-)
Хорошая задачка. Попробовал дать свои оценки "громадности", а потом сверил с интернетом.

1. Число атомов во Вселенной: 1080, 4-е место

2. Число шахматных партий 10123, 5-е место

3. количество клеток на земле: 5*1030, 3-е место

4. число когда либо родившихся людей: 8*1010, 1-е место,

5. число текстов длиной с Войну и Мир (если не ошибся в подсчётах - 3.3 мегабайта, т.е. 27 мегабит): 227 000 000т.е. примерно 108 000 000, 6-е место

6. секунд с большого взрыва: 4*1017, 2-е место.

Итого: 4 5 3 1 6 2
Мои варианты были 4 6 1 2 5 3 :) Переоценил количество вариантов в шахматах, число родившихся людей и число секунд с большого взрыва; недооценил число текстов длиной с Войну и Мир (позор; хотя посчитал, что вариантов в шахматах больше) и существенно (на два места) недооценил число клеток в живых организмах. Зато точно угадал порядок числа атомов во Вселенной :)

Голосованием читатели сходятся к мнению 6 3 4 2 (234) 4 - ни одного места не угадано; Вселенная существенно переоценена, зато отсутствие знакомства с криптографией не даёт ощущения, что текстов длиной с Войну и Мир может быть ооочень много.
Спасибо, интересный анализ.

Кстати, многие читатели просто давали максимальные баллы всем или почти всем числам, видимо, не пытаясь сообразить, какое из них больше. Надо бы отсеять вообще все голоса в пользу максимальных баллов (что-то вроде того, как делается в фигурном катании).

С «Войной и миром» вообще интересно получается. Каждую шахматную партию, даже очень длинную, можно записать довольно компактным текстом, который будет на несколько порядоков короче «Войны и мира». Аналогично можно поступить и с другими величинами: если попытаться «адресовать» один из множества (всех людей, клеток и т. п.), «адрес» будет текстом некоторой длины (много короче «Войны и мира»), которую и можно сравнивать с другими такими длинами.

Кстати, измерять «Войну и мир» размером текстового файла в мегабайтах неправильно, ведь не все 256 байтовых значений могут встречаться в тексте. Хотя, конечно, определения текста я не дал. Но это и неважно: при таких порядках ощущение громадности от таких мелочей уже не зависит.